Métropole, mars 2023

On considère la fonction  \(f\) définie sur  \(\mathbb{R}\) par  \(f(x) = \ln\, (1 + \mathrm{e}^{-x})\) , où  \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.
On note  \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((\text O, \overrightarrow{i} \overrightarrow{j} )\) .
La courbe \(C\)  est tracée ci-dessous.

1. a. Déterminer la limite de la fonction  \(f\) en \(-\infty\) .
    b. Déterminer la limite de la fonction  \(f\) en \(+\infty\) . Interpréter graphiquement ce résultat.
    c. On admet que la fonction  \(f\) est dérivable sur  \(\mathbb{R}\) et on note  \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée. Calculer  \(f^{\prime}(x)\) puis montrer que, pour tout nombre réel \(x\) , \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}\) .
    d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction  \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .

2. On note  \(T_0\) la tangente à la courbe  \(C\) en son point d’abscisse \(0\) .
    a. Déterminer une équation de la tangente \(T_0\) .
    b. Montrer que la fonction  \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) .
    c. En déduire que, pour tout nombre réel \(x\) , on a :  \(f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2} x + \ln(2)\) .

3. Pour tout nombre réel  \(a\) différent de \(0\) , on note \(\text M_a\)  et  \(\text N_a\) les points de la courbe  \(C\) d’abscisses respectives  \(-a\) et \(a\) . On a donc : \(\text M_a (-a \;;\; f(-a))\) et \(\text N_a (a \;; f(a))\) .
    a. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) , on a : \(f(x) - f(-x) = -x\) .
    b. En déduire que les droites  \(T_0\) et   \((\text M_a\text N_a)\) sont parallèles.